La matematica non è fatta solo di calcoli e funzioni. Uno degli aspetti fondamentali di questa disciplina, ideato più di 2500 anni fa, è quello di effettuare dimostrazioni, cioè verificare mediante ragionamenti deduttivi la verità o la falsità delle affermazioni matematiche. Nel corso dei secoli, il metodo assiomatico-deduttivo tipico della matematica dell’antica Grecia è stato assunto come riferimento per eccellenza del pensiero corretto ed è stato imitato, a ragione o a torto, anche in altre discipline (per esempio, l’Etica dimostrata con metodo geometrico di Spinoza è strutturata secondo questo metodo).
Nella scienza moderna, le dimostrazioni sono appannaggio della matematica e delle discipline che la utilizzano come fondamento, come l’informatica, la fisica, la chimica, l’ingegneria, l’economia... Al di là della matematica, però, c’è un’altra attività umana che condivide con essa sia l’impostazione assiomatica deduttiva sia l’uso delle dimostrazioni: il gioco.
Il sistema assiomatico-deduttivo nei giochi
Numerosi giochi, tra cui il tris, gli scacchi e il Monopoli, sono caratterizzati da regole ben precise, analoghe agli assiomi della matematica. Le possibili situazioni che si possono presentare (come una configurazione della scacchiera o della plancia di Monopoli) sono dei “teoremi” che si possono ottenere a partire da questi “assiomi”.
Vediamo più nel dettaglio l’esempio del tris. Le sue regole si potrebbero descrivere in questo modo.
- Il gioco si svolge su una griglia di nove caselle disposte su tre righe e tre colonne.
- Ci sono due giocatori, ciascuno contraddistinto da un simbolo (tradizionalmente, il primo giocatore usa X e il secondo O).
- A turno, ogni giocatore traccia il proprio simbolo su una casella libera.
- Vince il primo giocatore che riesce a tracciare il proprio simbolo su tre caselle di una stessa riga, di una stessa colonna o di una delle due diagonali della griglia.
Si tratta di un modo macchinoso di descrivere un gioco così semplice (e, in linea di principio, andrebbero definiti in modo più preciso alcuni dei termini coinvolti, tra cui “giocatore” e “casella libera”) ma, una volta stabilite le regole, è possibile non solo effettuare delle partite e distinguere le situazioni ammissibili da quelle inammissibili (per esempio, due soli segni X nel secondo turno di gioco), ma anche riflettere sul gioco. Chiunque abbia un po’ di esperienza con il tris sa bene che è poco interessante. Infatti, se entrambi i giocatori non commettono errori, nessuno dei due riesce a vincere: si possono ottenere solo pareggi. Quest’affermazione è un vero e proprio teorema del gioco del tris: la sua verità si può dimostrare in modo analogo a come si dimostra un teorema matematico. Uno dei possibili modi per farlo consiste nell’elencare tutte le partite possibili e cercare tra esse quelle ottimali. Una rappresentazione grafica è stata realizzata da Randall Munroe.
© Randall Munroe www.xkcd.com
Gli scacchi e il teorema di Zermelo
In linea di principio, anche per il gioco degli scacchi vale un risultato analogo, noto come teorema di Zermelo: o il giocatore bianco ha una strategia per vincere ogni partita, o entrambi i giocatori hanno una strategia per pareggiare ogni partita, o il giocatore nero ha una strategia per vincere ogni partita. Queste tre alternative non vanno lette come l’affermazione ovvia che ogni gioco o finisce con una vittoria o con un pareggio.Il loro significato è che, se entrambi i giocatori giocassero in modo ottimale, ogni partita finirebbe sempre allo stesso modo. In linea di principio, per conoscere la strategia ottimale si potrebbe esaminare ogni possibile mossa, ma concretamente ciò non è praticabile, dato che le possibili partite di scacchi sono talmente numerose da essere all’atto pratico incalcolabili. Di conseguenza, nonostante il teorema di Zermelo, gli scacchi continuano a rimanere un’attività entusiasmante, in cui la bravura di ciascun giocatore è determinante per la vittoria o per la sconfitta.
Il gioco degli stuzzicadenti
Esaminiamo un gioco molto più semplice e verifichiamo se, applicando il metodo deduttivo, riusciamo a dimostrare se ci siano delle strategie che portano sempre a un risultato prevedibile oppure no. Consideriamo un mucchio di 11 stuzzicadenti: due giocatori, a turno, possono toglierne 1, 2 o 3. Vince il giocatore che toglie l’ultimo stuzzicadenti del mucchio. Una possibile partita può essere schematizzata come segue, in cui le mosse dispari sono del primo giocatore e quelle pari del secondo.
In questo caso, vediamo che dopo sei mosse ha vinto il secondo giocatore.
Per capire se uno dei due giocatori può effettivamente vincere sempre, proseguiamo a ritroso dalla condizione di vittoria per capire quale può essere una strategia ottimale.
Riusciamo sicuramente a vincere se nel mucchio sono rimasti solo 1, 2 o 3 stuzzicadenti. Come possiamo fare per assicurarci che questo succeda? È necessario e sufficiente fare in modo che, alla fine di uno dei nostri turni, siano rimasti solo 4 stuzzicadenti. In questo modo, infatti, l’altro giocatore toglierà 1, 2 o 3 stuzzicadenti, lasciandone proprio il numero che desideravamo.
Abbiamo quindi cambiato l’obiettivo da “raccogliere l’ultimo stuzzicadenti” a “lasciare 4 stuzzicadenti”. Come possiamo realizzarlo? Ragionando in modo analogo, se l’altro giocatore ci lascia un mucchio in cui sono presenti 5, 6 o 7 stuzzicadenti, siamo in grado di rimuovere il numero necessario per arrivare a 4. Per fare in modo che ciò accada, è necessario e sufficiente che, alla fine di uno dei nostri turni, siano rimasti solo 8 stuzzicadenti.
Stiamo procedendo a ritroso verso l’inizio della partita: per essere sicuri di riuscire a lasciare 8 stuzzicadenti, ci basta che l’altro giocatore ci lasci un mucchio con 9, 10 o 11 stuzzicadenti. Ma all’inizio della partita ci sono proprio 11 stuzzicadenti, quindi per garantirci la vittoria è sufficiente iniziare per primi!
Questo ragionamento ci permette di concludere che, nel gioco appena descritto, il giocatore che inizia per primo ha una strategia vincente o, in altre parole, che può vincere a prescindere da ciò che farà il suo avversario. Il modo con cui siamo giunti a questa conclusione ha tutte le caratteristiche di una dimostrazione matematica: siamo partiti dagli assiomi, le regole del gioco, e abbiamo applicato un processo deduttivo.
Da 11 a n
Possiamo studiare in modo analogo delle generalizzazionidel gioco degli stuzzicadenti: che cosa succederebbe se nel mucchio iniziale ci fossero 12 stuzzicadenti? Abbiamo già visto che, se un giocatore lascia un mucchio di 9, 10 o 11 stuzzicadenti, allora il suo avversario ha una strategia vincente. Ma questa è proprio la condizione in cui si trova il primo giocatore, che in questa versione del gioco perderà sempre.
E se il mucchio iniziale fosse di 13 stuzzicadenti? In questo caso, il primo giocatore ne può togliere solo uno e mettere il secondo giocatore nella condizione di essere il primo giocatore di un gioco in cui si parte con 12 stuzzicadenti! Quindi, ancora una volta, il primo giocatore ha una strategia vincente. Lo stesso varrebbe se gli stuzzicadenti fossero 14 o 15: in questo caso, al primo giocatore basterebbe togliere due o tre stuzzicadenti, rispettivamente.
Con una generalizzazione tipica della matematica, possiamo chiederci: che cosa succede per una partita che inizia da un mucchio di n stuzzicadenti? Sei in grado di formulare una congettura e di verificarla con una dimostrazione? E che cosa succederebbe se ogni giocatore potesse togliere non solo 1, 2 o 3 stuzzicadenti, ma una quantità qualsiasi compresa tra 1 e un numero fissato m?
Risolviamo il gioco con n stuzzicadenti
Consideriamo dapprima il gioco in cui c’è un mucchio di n stuzzicadenti e ogni giocatore può toglierne da un minimo di 1 a un massimo di 3.
Dimostriamo che, se n è un multiplo di 4, il secondo giocatore ha una strategia vincente, altrimenti il primo giocatore ha una strategia vincente.
Iniziamo a dimostrare che, se n = 4k , allora il secondo giocatore ha una strategia vincente. Lo facciamo per induzione su k >0 .
Base dell’induzione: se k = 1, cioè n = 4 , il primo giocatore è costretto a lasciare un mucchio con 3, 2 o 1 stuzzicadenti. Il secondo giocatore potrà quindi toglierli tutti e vincere.
Passo induttivo: supponiamo che il secondo giocatore abbia una strategia vincente per un mucchio iniziale di 4k stuzzicadenti e dimostriamo che ce l’ha anche per un mucchio di 4(k +1) stuzzicadenti. Il primo giocatore lascerà un mucchio di 4(k + 1) -1, 4(k +1) - 2 o 4(k +1) - 3 stuzzicadenti. Riscriviamo questi numeri come 4k + 3, 4k + 2, 4k +1. In ciascun caso, il secondo giocatore può togliere 3, 2 o 1 stuzzicadenti e ricondursi a un gioco con 4k stuzzicadenti e in cui è ancora il secondo giocatore. L’ipotesi induttiva ci garantisce che il secondo giocatore ha una strategia vincente per questo secondo gioco, di conseguenza, ce l’ha anche per il gioco con 4(k +1) stuzzicadenti.
Ora ci rimane da dimostrare che in tutti gli altri casi il primo giocatore ha una strategia vincente. Supponiamo quindi che il numero iniziale di stuzzicadenti sia 4k +1, 4k + 2 o 4k + 3. In ciascun caso, il primo giocatore può togliere 1, 2 o 3 stuzzicadenti e ricondursi a un gioco con 4k stuzzicadenti e in cui è il secondo giocatore. Per quanto dimostrato in precedenza, ha una strategia vincente per questo secondo gioco, di conseguenza, ce l’ha anche per il gioco con il numero iniziale di stuzzicadenti.
Per quanto riguarda la generalizzazione in cui il numero di mosse è compreso tra 1 e m , si può verificare in modo analogo a quanto visto sopra che, se n è multiplo di m +1 , allora il secondo giocatore ha una strategia vincente; in tutti gli altri casi, è il primo giocatore ad avere una strategia vincente.
Referenze iconografiche: © Dragon Images/Shutterstock; ©Oleh Markov/Shutterstock; © Randall Munroe www.xkcd.com; © New Africa/Shutterstock, ©Max Ksenofontov/Shutterstock
