Nell’articolo Le dimostrazioni – Parte I abbiamo visto che le dimostrazioni non sono solo appannaggio della matematica, ma si possono trovare anche in ambiti diversi. Ora ci concentriamo su quelle matematiche: a prima vista, esse possono sembrare tutte diverse tra loro, senza elementi comuni che permettano di affrontarle e comprenderle. In realtà alcuni matematici hanno osservato che ci sono alcune strategie comuni che permettono di affrontarne la maggior parte. Vediamole analizzando una dimostrazione tratta dal capitolo A23 di Matematica in Movimento (Giovanna Guidone, Matematica in Movimento - Seconda edizione blu - Biennio LS - Volume 2, Sanoma, 2021).
Il contesto è quello del calcolo delle probabilità nel caso di spazi degli eventi Ω finiti e con p(A) = |A|/|Ω| , dove indichiamo con |A| e |Ω|, rispettivamente, il numero degli elementi degli insiemi A e Ω.
Dopo la dimostrazione della probabilità dell’evento unione per eventi incompatibili, p(A ∪ B) = p(A) + p(B) se A ∩ B = ∅ , viene enunciato e dimostrato il teorema relativo alla probabilità dell’evento contrario.
Gli ingredienti di una dimostrazione
In una dimostrazione sono sempre presenti delle ipotesi, talvolta date in modo implicito, e una tesi.
La tesi è l’obiettivo da raggiungere, ciò che desideriamo ricavare come conclusione del ragionamento. In tutti i teoremi è sempre dichiarata esplicitamente.
Le ipotesi – insieme agli assiomi della teoria, alle definizioni e alle altre proprietà e teoremi già noti sugli oggetti coinvolti nella dimostrazione – sono le risorse a nostra disposizione per costruire la dimostrazione. Nel teorema della probabilità dell’evento contrario le ipotesi sono dichiarate in modo esplicito: Ω è uno spazio degli eventi finito e A è un suo sottoinsieme. In altri teoremi può sembrare che non ci siano ipotesi: in questo caso, le risorse da utilizzare sono assiomi, definizioni e risultati già noti.
In matematica, si cerca spesso di enunciare un teorema con il numero minimo di ipotesi possibili. Nella maggior parte delle dimostrazioni che si incontrano nel percorso di studi della scuola superiore, questo è possibile. Quindi, negli enunciati che si possono trovare su un libro di testo, di solito vengono date tutte e sole le ipotesi di un teorema, senza alcuna assunzione superflua. Per affrontare una dimostrazione, allora, è opportuno chiedersi: in che modo si può usare ciascuna ipotesi per ottenere la tesi? Spesso, per rispondere a questa domanda è necessaria della creatività, che ci permette di capire come utilizzare le risorse in nostro possesso per superare dei passaggi ostici che all’apparenza sembrano insormontabili.
Analizziamo la dimostrazione
Esaminiamo la dimostrazione alla luce delle considerazioni appena fatte. Per capire il motivo della prima affermazione (“gli eventi A e Ā sono incompatibili”), iniziamo a esplicitare la definizione di Ā = Ω ∖ A. La tesi della dimostrazione contiene un’uguaglianza che coinvolge p(Ā) = p(Ω ∖ A): quindi, dobbiamo utilizzare le risorse a nostra disposizione per calcolare questo valore. Non abbiamo ulteriori ipotesi da usare e nemmeno formule note che ci dicono come calcolare questa probabilità: questo è il momento di essere creativi!
Uno dei teoremi che conosciamo a questo punto del percorso ci permette di calcolare la probabilità di due eventi incompatibili: quindi, cerchiamo di trovare un evento B incompatibile con Ω ∖ A per cui sia facile calcolare p(B ∪ (Ω ∖ A. Osserviamo ancora l’enunciato del teorema, in cui si parla dell’evento A: questo è il primo insieme di cui dobbiamo chiederci se faccia al caso nostro. Possiamo verificare che è effettivamente incompatibile con Ω ∖ A; inoltre, ha la proprietà comoda che:
A ∪ (Ω ∖ A) = Ω
È questo il motivo per cui nella prima frase ci stiamo concentrando sull’incompatibilità di A e Ā!
Il resto della dimostrazione è più lineare: dalle proprietà della probabilità sappiamo che p(A ∪ (Ω ∖ A = p(Ω) = 1: ci basta quindi prendere le probabilità degli insiemi coinvolti nell’uguaglianza precedente e utilizzare il teorema noto sulla probabilità dell’unione di eventi disgiunti.
Questo movimento continuo tra le ipotesi, le definizioni e proprietà e teoremi già noti è tipico della genesi di una dimostrazione. Solo in seguito, dopo aver trovato un argomento vincente, esso si può ripulire e presentare in modo più sintetico, nascondendo tutte le false partenze e sintetizzando i ragionamenti.
Alcune strategie per affrontare una dimostrazione
Nel caso di dimostrazioni più difficili, esistono alcune strategie che ci permettono di affrontare i passaggi più ostici. George Polya, un matematico ungherese del XX secolo, ne suggerisce qualcuna:
- osservazione;
- generalizzazione;
- specializzazione.
L’osservazione in matematica è paragonabile agli esperimenti nelle scienze. Nel caso del nostro teorema, per effettuare delle osservazioni avremmo potuto scegliere uno spazio di eventi, per esempio Ω = { ♡,♢,♠,♣,△}, e un evento, per esempio A = {♡,♣,△}. Con queste scelte, Ā = {♢,♠}; inoltre p(A) = 3/5, p(Ā) = 2/5.
Possiamo osservare che in questo caso l’uguaglianza:
p(Ā) = 2/5 = 1 - 3/5 =1 - p(A)
è verificata.
Dopo aver effettuato un numero sufficiente di osservazioni, si può passare dalle uguaglianze numeriche tra i valori p(Ā) e 1 - p(A) alla formula p(Ā) = 1 - p(A), in cui gli esempi di insiemi sono stati sostituiti con delle variabili. Questo è un esempio di generalizzazione.
Al contrario delle generalizzazioni, le specializzazioni cercano di passare da un problema complesso a uno più facile. Le prime osservazioni che abbiamo effettuato si possono concepire come delle specializzazioni particolari, in cui al posto delle variabili (gli insiemi Ω e A) abbiamo utilizzato degli insiemi descritti esplicitamente. Un altro tipo di specializzazione consiste nell’utilizzare la definizione classica di probabilità al posto del simbolo p: supponiamo che Ω abbia N elementi e A ne abbia m: in tal caso, Ā ha N - m elementi. Utilizzando la definizione, la probabilità di A è m/N, quella di Ā è (N - m)/N, quindi dobbiamo dimostrare che
(N - m)/N=1 - m/N
Siamo passati da una formula astratta a un’altra, sempre simbolica, ma di cui possiamo verificare la correttezza con gli strumenti dell’algebra.
Ora tocca a te
Prova a utilizzare quanto hai imparato sulla struttura delle dimostrazioni per affrontare un problema nuovo. La mappa seguente illustra la città di Königsberg (oggi Kaliningrad) nel 1651. Il fiume Pregel la attraversa formando due grandi isole, collegate tra di loro e alle due sponde della città con sette ponti.
Nel 1736 il matematico svizzero Leonhard Euler si chiese se fosse possibile effettuare una passeggiata in città rispettando queste regole:
- bisogna attraversare ciascun ponte una e una sola volta;
- la passeggiata deve iniziare e finire nella stessa regione (una delle due sponde o ciascuna delle due isole);
- una volta imboccato un ponte, lo si deve percorrere fino alla fine;
- non si può attraversare il fiume con un traghetto o con qualsiasi altro mezzo che permetta di evitare un ponte.
Immedesimati in Euler: riesci a trovare un percorso che soddisfi i vincoli proposti? Se non ce la fai, sapresti dimostrare che trovarne uno è impossibile? Se decidi di affrontare la dimostrazione, scrivi le ipotesi, la tesi e aiutati con le strategie proposte da Polya.
Dimostrazioni: metodo e fantasia
Da un lato, conoscere le dimostrazioni e le loro strutture può aiutare notevolmente sia nello studio sia nella loro scoperta. Dall’altro, la maggior parte delle dimostrazioni richiede un elemento di creatività che non può essere ricondotto a un insieme di regole, ma che si può acquisire solo costruendo una familiarità con il soggetto indagato. Solo da questo intreccio di metodo e fantasia possono nascere le dimostrazioni più belle.
Risolviamo il problema di Euler
Per affrontare il problema di Euler, può essere utile schematizzare la situazione descritta: invece di ragionare direttamente sulla mappa di Königsberg, rappresentiamo le quattro regioni della città (le due sponde del fiume e le due isole) ciascuna con un punto; i ponti diventano degli archi che congiungono i punti corrispondenti. Otteniamo il grafico (o, per essere più precisi, il multigrafo) seguente.
Per capire se la passeggiata proposta da Euler sia possibile, accogliamo un suggerimento di Polya e iniziamo a effettuare alcuni esperimenti. Possiamo per esempio iniziare dal punto 1, muoverci al 2, poi al 4 e al 3. Da qui, potremmo tornare a 2, ma dovremmo interrompere la passeggiata senza riuscire a tornare alla regione di partenza, perché abbiamo già percorso tutti i punti che partono da 2. Avremmo anche potuto tornare a 4 e poi a 1, ma in questo caso il percorso finirebbe senza aver attraversato il ponte tra 2 e 3.
Compiendo altri tentativi è possibile convincersi che è impossibile trovare una passeggiata con le caratteristiche richieste da Euler. Come si può dimostrare che questo è effettivamente impossibile? Seguiamo un altro suggerimento di Polya e iniziamo a ragionare su dei problemi più semplici. È possibile trovare un percorso con le proprietà indicate nei casi seguenti?
Che cosa accomuna il primo e l’ultimo caso, in cui è possibile farlo, e il secondo e il terzo, in cui è impossibile?
Per rispondere a questa domanda occorre un ragionamento creativo. Proviamo a immedesimarci in una persona che deve fisicamente compiere il cammino: ogni volta che arriviamo in una nuova regione utilizzando un ponte, possiamo proseguire se e solo se ce n’è un altro che non abbiamo ancora percorso. Questa considerazione suggerisce che l’esistenza di un cammino con le proprietà richieste da Eulero è equivalente a una proprietà che riguarda il numero di ponti che collegano ciascuna regione: tale numero deve essere pari!
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