Dire che in Matematica è concessa un po' di libertà d'azione può essere accettabile per tutti.
Ma è più difficile convincersi che la libertà è la disposizione d'animo essenziale per fare Matematica. Tale difficoltà forse deriva dal fatto che il modo in cui si presenta la Matematica è molto diverso dal modo in cui si fa Matematica.
Per esempio, quando affrontiamo un problema nuovo possiamo permetterci di fare ciò che vogliamo: cercare un piano d'azione, fare tentativi ed errori, chiedere aiuto a un amico, combattere contro blocchi mentali, modificare il problema, inventare qualcosa di nuovo. Questa è la parte in cui trionfa la libertà.
Quando poi dovremo comunicare la soluzione del problema non parleremo dell'avventura creativa, ma descriveremo in modo convenzionale la strategia vincente.
La parte più avventurosa, e più essenziale, della Matematica non è raccontata in nessun libro di testo, dalla scuola secondaria all'università: si impara strada facendo.
In questo articolo vi presento 7 semplici problemi per riflettere su alcuni aspetti della libertà in Matematica. Potete considerarli come esercizi spirituali, modificarli a vostro piacere e magari proporli ai vostri studenti.
1 - Libertà di creare un piano d'azione personale
Una volta ho sentito questa definizione:
"Chi è un matematico? Un matematico è una persona che usa quello che sa per risolvere problemi."
Quindi, la libertà più semplice di fronte a un problema è quella di creare un piano d'azione basato sulle nostre conoscenze personali.
1. AREA
- Qual è l'area del poligono rappresentato nella figura?
- In quanti modi diversi si può calcolare l'area? Quale preferisci?
Ricordo la scoperta personale di Francesco Bulli, che all’epoca aveva 16 anni, studente di 3a Liceo Scientifico, di cui si è parlato nei giornali nel 2020.
Il problema posto chiedeva di calcolare l’area compresa fra un arco di parabola e una retta secante la parabola stessa, date le equazioni della parabola e della retta nel piano cartesiano.
Il metodo che Francesco conosceva è piuttosto laborioso e si basa su un teorema di Archimede.
Lo studente però sapeva come traslare una funzione nel piano cartesiano e ha usato questa conoscenza per creare una procedura molto più semplice. Basta infatti traslare la retta e la parabola in modo che il vertice della parabola coincida con l'origine degli assi.
2 - Libertà di fare errori (possibilmente interessanti)
Esiste un tipo di problema matematico in cui commettere errori non è spiacevole ma è addirittura determinante per trovare la soluzione?
Sì, per esempio i problemi combinatori, come trovare il percorso più breve in un grafo o la strada per uscire da un labirinto. Persino gli algoritmi che cercano i percorsi ottimi sono programmati per fare errori!
Per affrontare il prossimo problema vi suggerisco di prendere tre pennarelli (rosso, blu e nero) e disegnare il labirinto della figura.
2. LABIRINTO BLU E ROSSO
Entra nel labirinto dalla porta blu e trova il percorso per uscire dalla porta rossa.
Regola. In questo labirinto devi attraversare alternativamente una porta blu, una rossa, una blu, una rossa, e così via. In altre parole, non puoi attraversare di seguito due porte dello stesso colore.
Le linee nere rappresentano muri e non si possono attraversare.
- Mentre cerchi la via d'uscita, prendi coscienza di tutte le prove ed errori che fai e delle sensazioni che provi.
- In che modo gli errori ti sono serviti per trovare la soluzione?
- Hai trovato più di una soluzione?
3 - Libertà di collaborare in una comunità accogliente
Fino ai primi anni del 1900, quasi tutti gli articoli scientifici di Matematica erano firmati da un solo autore. In questi ultimi anni invece il numero medio di autori per articolo di Matematica è circa 3. I matematici di tutto il mondo formano una comunità collaborativa che parla lo stesso linguaggio. Le attività come quella proposta qui sotto sono utili per imparare a collaborare. La prima cosa da capire è che il gruppo ha un problema da risolvere.
3. IL SETTIMO NUMERO
Formate un gruppo di 3 (o più) persone.
Stampate la scheda seguente (senza leggerla) e ritagliatela lungo le linee ottenendo 6 biglietti.
Prendete due biglietti ciascuno.
Collaborate per rispondere alla domanda.
Presentate la vostra soluzione.
4 - Affrontare le auto-limitazioni della libertà
La libertà è anche la possibilità di muoversi oltre i confini a cui siamo abituati. Ma a volte siamo noi stessi ad auto-limitarci, immaginando muri che non esistono. Questi sono i confini più difficili da superare.
4. QUADRATO PIÙ GRANDE
Disponi quattro monete da 1 centesimo su un foglio in modo che si trovino sui vertici di un quadrato di lato circa 5 cm.
- Muovi soltanto 2 monete per ottenere un quadrato più grande del primo.
- Quanto misura l'area del nuovo quadrato?
A volte, invece, porre volontariamente dei limiti alla propria libertà è una sfida interessante.
In questi casi bisogna saper attivare altre libertà che potrebbero essere nascoste.
5. SENZA FRAZIONI
La figura è formata da quattro rettangoli uniti fra loro.
- L'area incognita si può calcolare facilmente usando le frazioni. Come?
- Sei capace di calcolare l'area incognita senza usare le frazioni?
Un problema decisamente più difficile è il seguente.
6. DIVIDERE UN TRIANGOLO IN 5 TRIANGOLI CONGRUENTI
Nella figura vedi un triangolo diviso in 3, 4, 6 triangoli congruenti.
- Sai proporre un esempio di triangolo diviso in 5 triangoli congruenti?
- E in 7 triangoli congruenti?
5 - Libertà di inventare qualcosa di nuovo (anche se qualcuno lo ha già inventato)
Tutti gli oggetti matematici che usiamo con tanta familiarità sono il frutto dell'immaginazione umana e molti di essi hanno aperto nuovi territori liberando la matematica da vecchi schemi in cui era imprigionata.
Pensate per esempio ai numeri negativi, agli irrazionali, all'unità immaginaria che sta alla base dei numeri complessi.
Certe osservazioni nate quasi per gioco, come i numeri primi gemelli, hanno ispirato congetture che attendono ancora oggi di essere dimostrate.
Nel 2019, Chika Ofili, un ragazzo nigeriano di 12 anni ha notato che nel libro di matematica mancava il criterio di divisibilità per 7. Quindi ha deciso di inventarne uno abbastanza semplice e c'è riuscito!
Forse questo test esisteva già, ma non importa. L'importante è che un ragazzo ha usato le sue conoscenze e la sua immaginazione per costruire una regola nuova e utile, che non era nei libri di testo
7. IL TEST DI DIVISIBILITÀ PER 7 DI CHIKA OFILI
Il test di divisibilità per 7 di Chika Ofili funziona così (vediamo un esempio).
- Consideriamo il numero 462.
- Separiamolo mentalmente in due parti: la cifra delle unità (2) e la parte restante (46)
- Moltiplichiamo per 5 la cifra delle unità e addizioniamo il risultato alla parte restante:
462 ⇒ 46 + 5 x 2 = 56 - Siccome 56 è divisibile per 7, allora lo è anche il numero di partenza, 462.
Se il numero ottenuto ha più di 3 cifre, si può applicare ad esso nuovamente il test.
La domanda è: sapresti dimostrare il test di divisibilità per 7 di Chika Ofili?
Googol
Una leggenda narra che nel 1920 il matematico Edward Kasner chiese a suo nipote Milton Sirotta, di 9 anni, di dare un nome al numero enorme 10100.
La risposta del ragazzo fu: googol.
Milton Sirotta, in seguito, inventò un numero ancora più grande e lo chiamò googolplex: è formato da 1 seguito da tanti zeri fin quando non ti stanchi di scriverli.
Cari amici, abbiamo iniziato questo lungo articolo con una citazione abbastanza morbida di Georg Cantor. Mi piace concluderlo con un pensiero decisamente più spavaldo di Laurent Schwartz, matematico francese.
La matematica è anche politica.
6- Risposte e riflessioni
1. AREA
L'area è 12 cm2. Si può calcolare scomponendo il poligono in molti modi diversi oppure contando i quadretti. Ecco 6 esempi.
2. LABIRINTO BLU E ROSSO
Ecco una possibile soluzione.
3. IL SETTIMO NUMERO
I dati descrivono i primi sei numeri della sequenza di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
(I primi due termini sono uguali a 1, ogni termine successivo è uguale alla somma dei due che lo precedono). Quindi il settimo numero è 13. Ma esistono sicuramente altre soluzioni.
4. QUADRATO PIÙ GRANDE
La difficoltà principale sta nell'uscire dai binari dei lati del quadrato iniziale.
Il lato del secondo quadrato è uguale alla diagonale del primo. L'area quindi è doppia, cioè 50 cm2.
5. SENZA FRAZIONI
Per evitare le frazioni bisogna prendersi la libertà di tracciare la linea AB che divide il rettangolo grande in due rettangoli.
Quello in alto è il doppio del rettangolo di area 14 cm2.
Quello in basso è il triplo del rettangolo di area 5 cm2.
L'area incognita quindi vale:
5 x 3 +14 x 2 =15 + 28 = 43 cm2
6. DIVIDERE UN TRIANGOLO IN 5 TRIANGOLI CONGRUENTI
La difficoltà principale sta nel liberarsi dai triangoli equilateri. Il testo infatti non dice che il triangolo da dividere deve essere equilatero. La divisione in 5 triangoli congruenti si può fare con un triangolo rettangolo come mostrato nell'esempio qui sotto.
La divisione in 7 triangoli congruenti invece è impossibile, ma questo teorema è stato dimostrato solo pochi anni fa, cioè nel 2018. Per approfondire si può cercare il contributo di Michael Beeson, No triangle can be cut into seven congruent triangles (2018), Pre-print su arXiv.
7. IL TEST DI DIVISIBILITÀ PER 7 DI CHIKA OFILI
Prima di tutto vediamo come si può separare un numero n in due parti che indicano il numero delle decine e quello delle unità.
n =10a +u
Il test di Chika Ofili si basa sulla proprietà seguente, che dobbiamo dimostrare.
Dato un qualunque numero n =10a + u, se 10a + u è divisibile per 7 allora lo è anche a + 5u (e viceversa).
Per chi conosce l'aritmetica modulare.
Dobbiamo dimostrare la doppia implicazione:
Se 10a + u ≡ 0 mod 7 allora a + 5u ≡ 0 mod 7 (e viceversa).
Partiamo dalla congruenza:
10a + u ≡ 0 mod 7
Moltiplichiamo per 5:
50a + 5u ≡ 0 mod 7
Scomponiamo 50a:
49a + a + 5u ≡ 0 mod 7
Eliminiamo 49a perché è multiplo di 7:
a + 5u ≡ 0 mod 7
Abbiamo ottenuto il conseguente dell'implicazione, perciò la prima parte è dimostrata. L'implicazione inversa si dimostra allo stesso modo, moltiplicando per 10.
Per chi non conosce l'aritmetica modulare.
Dobbiamo dimostrare la doppia implicazione:
Se 10a + u = 7k allora a + 5u = 7h (e viceversa).
Partiamo dall'uguaglianza:
10a + u = 7k
Moltiplichiamo per 5:
50a + 5u = 7k
Scomponiamo 50a:
49a + a + 5u = 7k
Trasferiamo 49a al secondo membro e raccogliamo il 7:
a + 5u = 7 x (k - 7a)
Poniamo h = (k - 7a):
a + 5u = 7h
Abbiamo ottenuto il conseguente dell'implicazione, perciò la prima parte è dimostrata. L'implicazione inversa si dimostra allo stesso modo, moltiplicando per 10.
Referenze iconografiche: ©Lightspring/Shutterstock; realizzazioni grafiche di Gianfranco Bo
