Introduzione
All’interno delle attività atte a proporre l’utilizzo del calcolo letterale e dell’algebra in vari contesti puramente teorici e/o applicati alle scienze o alla risoluzione di problemi di realtà, ho sempre prestato molta cura all’insegnamento della differenza che sussiste tra il significato di incognita e parametro. Entrambi sono rappresentati da lettere nelle equazioni e non è immediato comprendere che risolvere un’equazione parametrica o letterale significa stabilire in che modo il valore dell’incognita dipende dal parametro, o per quali valori del parametro l’insieme delle soluzioni soddisfa determinati vincoli. E che risolvere un’equazione, in ogni caso, significa determinare per quali valori dell’incognita il predicato si trasforma in proposizione vera, anche se questi valori non sono numeri, ma famiglie di numeri il cui valore dipende dai parametri.
Spostando l’attenzione dall’algebra alla geometria analitica e alla fisica, ci si può rendere conto che il valore assegnato al parametro cambia la rappresentazione degli oggetti geometrici o l’esito di un fenomeno fisico, pur non modificando la natura degli oggetti o dei fenomeni. Il “gioco” spesso consiste nel saper scegliere i parametri in modo che l’esito sia rispettoso delle condizioni desiderate o, viceversa, stabilire la relazione tra l’esito e i parametri.
L’attività ha i seguenti obiettivi:
- Riflettere sul valore della matematica in merito alla sua applicabilità a situazioni reali.
- Cogliere la dimensione creativa della matematica superando la mera dimensione tecnica.
- Sperimentare il forte connubio tra matematica e fisica mediante casi reali.
- Operare scelte consapevoli.
- Ripassare il significato di equazione e di sua soluzione, i principi di equivalenza e le tecniche risolutive.
- Riflettere sul significato delle lettere presenti in un’equazione.
- Distinguere tra incognita e parametro.
- Interpretare il significato di parametro in ambito fisico e in ambito matematico-astratto.
ESPLORARE
Parametri: un ponte tra la matematica e la fisica
Può essere proposta sia nel primo biennio, sia all’inizio del secondo biennio di una classe di scuola secondaria di secondo grado, variando eventualmente il livello di difficoltà dei quesiti, ma conservando l’impostazione generale.
Da un punto di vista metodologico, si associano alcuni strumenti di didattica digitale all’analisi e alla produzione di documenti cartacei. Gli studenti lavorano sia singolarmente che a piccoli gruppi.
Nella prima fase del lavoro, l’interesse dei ragazzi è stimolato mediante un brainstorming realizzato su una piattaforma (per esempio, Amplify Classroom): gli studenti rispondono in coppie di aiuto ad alcuni quesiti (trovate il testo dei quesiti in un inserto in allegato); l’insegnante ha la possibilità di seguire in diretta le risposte mediante la funzione DASHBOARD o simile.
In seguito, l’insegnante chiama a turno uno studente per coppia e chiede di motivare la propria risposta. Se ci sono risposte diverse, chiede agli autori di confrontarle. Attraverso un confronto ragionato si perviene alla risposta corretta.
APPLICARE
Esercizi graduati a livello di difficoltà crescente
- Si svolgono esercizi al banco e corretti alla lavagna dagli studenti: equazioni letterali e parametriche.
- Si sorteggia uno studente e si ripropongono domande in forma orale molto simili a quelle dell’attività su piattaforma, variando solo qualche valore e qualche condizione o vincolo. Si chiede allo studente di esprimere un’autovalutazione non tanto in termini di voto, ma piuttosto cercando di mettere in luce quello che non era chiaro.
- Si chiede a ogni coppia di aiuto di formulare una personale definizione di parametro, diversa da quella assegnata nell’attività, senza estrarla da nessuna fonte.
- Si confrontano le definizioni e si chiede alla classe di sceglierne una che soddisfi la maggioranza, mediante votazione.
- Si assegnano alla classe esercizi di equazioni parametriche, graduati per difficoltà. La modalità è inizialmente la stessa, in coppie di aiuto; successivamente ogni studente esegue in autonomia un esercizio, misurando mediante cronometro il tempo necessario allo svolgimento.
GUARDARE OLTRE
I parametri di una retta
Mediante il software GeoGebra https://www.geogebra.org/?lang=it rappresentano rette passanti per l’origine (in una prima fase) e non (in una seconda fase) con pendenza e ordinata all’origine variabili. Per farlo si utilizza la funzione SLIDER. Inizialmente si chiede alle studentesse e agli studenti di inserire lo SLIDER m e di rappresentare le rette y = mx al variare di m. Si fa variare manualmente lo slider e si fanno loro alcune domande: «Descrivi la retta quando m = 0, quando m è positivo, quando m è negativo. Che cosa pensi che succeda quando m diventa molto grande?»
In seguito, mediante la funzione animazione automatica e TRACCIA ATTIVA, si possono generare figure come la seguente:
Poi si può inserire un secondo SLIDER q e chiedere alla classe di scrivere l’equazione y = mx + q e rappresentare le rette al variare di q, tenendo fisso m. Si pongono domande ad hoc per aiutarli nell’interpretazione.
Si possono poi variare entrambi i parametri e creare figure come questa.
Si chiede di commentare la differenza tra le due situazioni e si pongono alcune domande del tipo:
«Quali sono i parametri in questa attività? Come influenzano il grafico delle rette?»
Gli studenti rispondono in coppie d’aiuto.
METTERSI IN GIOCO
Caccia al parametro
Le ragazze e i ragazzi vengono divisi in gruppi di tre e viene loro consegnato il test Caccia al parametro, disponibile in allegato in forma cartacea. Ogni gruppo deve consegnare una sola copia del test risolto, evidenziando in modo chiaro la procedura risolutiva, adeguatamente motivata, e riportando nella griglia finale i propri risultati.
ANALISI DEI RISULTATI DI CACCIA AL PARAMETRO
La correzione dell’attività ha evidenziato che solo 3 gruppi su 8 hanno raggiunto la sufficienza. Tra i 5 gruppi insufficienti 2 sono gravemente insufficienti e 3 insufficienti.
Si può osservare che:
- molti, tra studentesse e studenti, non hanno interiorizzato la differenza tra incognita/e e parametro;
- alcuni commettono errori di calcolo;
- sussistono grosse difficoltà nella soluzione dei due problemi;
- gli studenti svolgono meglio l’esercizio standard (discussione esercizio 3), mentre cadono in errore sia sugli esercizi non standard, anche se più semplici, sia sui problemi.
Possibili motivazioni: nelle lezioni precedenti ho notato che molti studenti hanno svolto sommariamente i compiti, senza seguire le mie indicazioni o quelle del libro. Alcuni hanno svolto gli esercizi con l’aiuto di altri e non sanno riprodurli in modo autonomo.
Conclusioni: l’impegno non è sufficiente; molti studenti non si sentono coinvolti o non si lasciano coinvolgere.
Strategia: continuare con controllo compiti; aumentare il livello dialogico in classe; fissare la data del test scritto.
CORREZIONE IN CLASSE DELL’ATTIVITÀ CACCIA AL PARAMETRO
Uno studente o una studentessa (preferibilmente il/la più debole del gruppo) a turno viene chiamato per la correzione e invitato a riflettere innanzitutto sulla strategia risolutiva. Per selezionare la strategia lo studente deve osservare con attenzione il testo e l’equazione associata al testo.
Misconcetto: solitamente lo studente parte con la ricerca della soluzione dell’equazione senza tener conto dei dati del problema e della richiesta specifica.
VERIFICA FORMATIVA E TEST SOMMATIVO
Terminate queste fasi di studio e analisi, si può passare alla verifica formativa, che viene svolta singolarmente con la possibilità di consultare appunti e testo. Lo studente deve annotare i punti in cui ha avuto bisogno di aiuto.
L’insegnante consegna la correzione della verifica formativa, insieme alla griglia di correzione, e chiede allo studente di correggere i propri errori esprimendo una valutazione sottoforma sia di giudizio sia di numero in decimi.
L’ultimo atto è il test sommativo, disponibile in allegato, con valutazione finale.
Le soluzioni al test Caccia al parametro e al Test sommativo sono fornite in allegato.
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