Matematica a processo

Introduzione

In questo breve articolo vorrei raccontare di un’esperienza fatta in classe relativamente all’insegnamento del teorema di Bayes. Molto spesso, anche in testi che si prefiggono lo scopo di fare buona divulgazione, questo teorema viene presentato tramite una formula ben nota, che suona più o meno così: 

Nella mia esperienza, gli studenti faticano molto ad attribuire significato a questi simboli e, soprattutto, difficilmente riescono a calarli nel contesto di una situazione reale, il che, poi, è la stessa cosa.

Il teorema di Bayes conduce spesso a risposte che vanno contro il senso comune: per questo è delicato da insegnare. D’altro canto, però, si tratta di un’idea fondamentale per la comprensione di molti meccanismi che regolano le nostre decisioni. Per questo motivo, da un po’ di anni dedico a questo teorema un piccolo percorso di educazione civica.

La fase inziale dell’attività: prendere atto empiricamente del concetto di probabilità condizionata

Il percorso nasce proponendo un caso di scuola che coinvolge sempre molto i ragazzi.

C’era una volta un nutrito battaglione di Sua Maestà in cui tutti erano fedeli alla corona, tanto che negli anni si era riscontrato un disertore ogni 1000 soldati. Questo valoroso battaglione incappò un giorno in un’imboscata e sopravvisse solo un soldato su cento. I superstiti tentarono di mettersi in salvo attraverso un impervio sentiero di montagna ma, in prossimità di una stretta gola, vennero di nuovo attaccati e, anche stavolta, sopravvisse un soldato su cento. Molto tempo dopo, un membro del battaglione, il soldato semplice Andrews, si presentò al suo comandante dicendo di essere sopravvissuto ai due attacchi, essere stato stordito e aver vagato molto prima di riuscire a tornare a casa. Il generale riunì il consiglio di guerra per valutare l’ipotesi di condannare Andrews per diserzione, comminandogli una pena esemplare. Disse: «in fin dei conti, il soldato aveva solo una probabilità dell’uno per diecimila di uscire vivo da quella terribile vicenda. Il sospetto che se la sia cavata perché non era presente ai due attacchi è pertanto tanto fondato da giustificare una condanna».

Nei panni del consiglio di guerra quali considerazioni faresti? Di quale informazione hai bisogno?

Sono abbastanza certa che, se provate con i vostri studenti, succederà anche a voi quello che è successo molte volte a me. I ragazzi non vedono dove sta il problema: il bias cognitivo è molto forte e tutti accettano senza problemi la posizione del comandante. È raro che qualcuno chieda l’informazione cruciale, ossia qual è la probabilità che, avendo disertato, si sopravviva in territorio nemico.

È a questo punto che io fornisco ai ragazzi una tabella come quella sotto, che però non è compilata in tutte le sue voci, e chiedo di completarla immaginando di analizzare un totale iniziale (del tutto simbolico) di 10 milioni di soldati. Nella tabella inserisco l’informazione di cui dicevo, ossia il fatto che, statisticamente, solo il 7% dei soldati che si trovano soli in territorio nemico sopravvivono a pericoli di varia natura.

Quando la tabella viene completata, si possono fare delle domande-guida, come ad esempio:

• «su 10 milioni, quanti sono sopravvissuti?»
• «l’insieme dei sopravvissuti, cui appartiene Andrews, di quali sottoinsiemi è formato?»
• «qual è la probabilità che, se uno è sopravvissuto, si tratti di un disertore?».

Dopo un po’ di sconcerto iniziale e con tempi differenti l’uno dall’altro, gli studenti cominciano a comprendere la logica di questo ragionamento. L’attività prosegue quindi con l’analisi, per gruppi, di altre situazioni tipo, come quelle che si trovano illustrate nel volumetto de Le Scienze sul teorema di Bayes.

Come esempio, trovate qui una scheda che ho utilizzato qualche anno fa in questa fase del lavoro, in cui c’è anche la foto di un (allora) famigerato tampone del Covid sul tavolo di casa mia.

Gli studenti al lavoro

Dopo la fase illustrata qui sopra, ho chiesto agli studenti se volessero occuparsi anche di un’applicazione forense del teorema di Bayes. Ho dato da leggere alcune pagine del libro Matematica a Processo, di Stefano Leonesi e Carlo Toffalori, e poi ho lanciato una sfida: perché non mettere in scena un processo, con tanto di imputato, pentito e avvocati, nel quale mostrare dal vivo come funziona una corretta valutazione della testimonianza di un collaboratore di giustizia?

L’idea di mettere in scena un processo è scaturita da molte considerazioni di natura didattica: spingere gli studenti a produrre in autonomia una situazione in cui l’applicazione del teorema di Bayes fosse significativa, creare un’occasione in cui si dovessero cimentare con un’esposizione pubblica e, infine, inventare insieme una modalità laboratoriale per trasferire i contenuti appresi.

La rappresentazione-laboratorio che è scaturita dal nostro lavoro è stata messa in scena in più di un’occasione, tra cui quella del convegno Pristem d’Autunno, tenutosi a Pesaro lo scorso mese di ottobre. In quella circostanza i partecipanti hanno assistito dal vivo alla rappresentazione che trovate descritta alla fine dell’articolo.

Dopo aver appreso dalla viva voce dei protagonisti i termini delle accuse verso l’imputato, i partecipanti al laboratorio sono stati chiamati a diventare membri della giuria, ovvero a valutare in prima persona l’affidabilità della testimonianza del collaboratore di giustizia per giungere a un verdetto equo.

Per aiutare la riflessione dei giurati abbiamo fornito dei materiali dai quali espungere considerazioni matematicamente rilevanti. È nata così l’idea di creare e stampare alcune pagine di giornale in cui venissero riportati casi analoghi. Alla giuria veniva detto che, attraverso la lettura del giornale, sarebbe venuta a conoscenza di elementi di giurisprudenza utili a formulare il verdetto.

Al convegno di Pesaro, così come nelle altre occasioni in cui i partecipanti al laboratorio erano studenti, abbiamo visto insegnanti molto coinvolti: la lettura del giornale ha richiesto loro di cercare informazioni utili e di trasferirle per analogia al caso considerato.

Poiché il numero di partecipanti era molto elevato, alla fine del lavoro della giuria, abbiamo chiesto di esprimere un’opinione attraverso un sondaggio con un QR. In effetti, è stato sorprendente constatare che, anche per chi insegna Matematica, l’applicazione del teorema di Bayes fuori dal contesto standard di un problema del libro di testo può dare qualche grattacapo.

Ecco ora il testo della rappresentazione, che si conclude con il problema proposto agli spettatori-giurati.

La scena si apre in tribunale. L'atmosfera è tesa e gli sguardi dei presenti oscillano tra nervosismo e interesse mentre attendono lo svolgersi degli eventi. Insieme agli altri membri della giuria, aspettate con trepidazione l’esposizione del caso.   Giudice: Ordine in aula! Oggi ci troviamo per discutere il caso dell'accusa contro l'imputato per appartenenza a un certo clan mafioso che detiene il 30% del mercato della droga in città. L’imputato è stato colto in flagranza di reato: spacciava droga in una discoteca. Il nostro problema oggi, quindi, non è questo, bensì l’accusa di associazione a delinquere di stampo mafioso.   Il giudice prende alcuni appunti e si rivolge alla corte. L'accusa sostiene che l'imputato faccia parte di un clan mafioso che controlla una parte significativa del mercato della droga in questa città. Un testimone pentito ha fornito informazioni cruciali, affermando che l'imputato è affiliato a questo clan. Tuttavia, la giuria è chiamata a valutare attentamente il ruolo di questa testimonianza. Si rivolge all'accusa. Do la parola all’avvocato dell’accusa. Avvocato dell’accusa: Grazie, vostro onore. Vorrei chiamare a deporre il collaboratore di giustizia, il sig. Lepri. Il testimone entra e l’avvocato si rivolge a lui. Si qualifichi. Testimone: Sono il sig. Augusto Lepri.   Avvocato dell’accusa: Signor Lepri, può confermare di aver fatto parte del clan in questione? Testimone: Sì, posso confermarlo. Ho avuto una lunga esperienza all'interno di quel clan. Fino a che, come si può desumere dagli atti giudiziari, ho deciso di abbandonare l’attività criminale e di chiedere l’inserimento nel programma di protezione, in cambio di molteplici informazioni fornite alla giustizia. Avvocato dell’accusa: E può confermare che l'imputato è stato affiliato a questo clan? Testimone: Sì, l'imputato faceva parte del nostro clan. Ha operato per conto dell’organizzazione per diverso tempo. Avvocato dell’accusa: Grazie, signor Lepri. Nessuna altra domanda. Giudice: Proseguiremo con la difesa. Avvocato della difesa, ha domande per il testimone? Avvocato della difesa: No, vostro onore. Vorrei però che venisse fornita un’informazione cruciale alla giuria. In base alle molteplici precedenti testimonianze del sig. Lepri, le chiedo: quanto affidabile è la sua testimonianza? Giudice: Possiamo stabilire con sicurezza che le sue informazioni sono accurate per il 45%. Avvocato della difesa: Grazie, Vostro Onore. Giudice: Grazie, avvocati. Ora vi darò la parola per l’arringa finale. Avvocato dell’accusa, prego… Avvocato dell’accusa: Certamente, vostro onore, grazie. Onorevoli giurati, abbiamo sentito il testimone pentito confermare che l'imputato ha fatto parte attiva del clan. Questa non è una questione di opinione, ma di prove concrete. Il testimone ha fornito dettagli specifici sul coinvolgimento dell'imputato nelle attività illegali. Inoltre, vorrei sottolineare che il clan in questione controlla ben il 30% del mercato della droga in questa città. Questo dato, unito alla testimonianza del pentito, pone fondati sospetti circa il coinvolgimento dell'imputato in un clan così influente e dannoso. Chiedo alla giuria di considerare attentamente queste prove e di giungere alla giusta conclusione: quella della colpevolezza dell'imputato. Giudice: Grazie, avvocato dell'accusa. Avvocato della difesa, ha qualcosa da aggiungere? Avvocato della difesa: Sì, vostro onore.   Onorevoli giurati, vi chiedo di riflettere sul fatto che la testimonianza del pentito potrebbe non essere del tutto affidabile. Come lo stesso giudice ci ha comunicato, solo una parte delle sue informazioni può considerarsi attendibile. Non possiamo basare una condanna su una percentuale così bassa di affidabilità. Dobbiamo inoltre ricordare che la presunzione di innocenza è un principio fondamentale del nostro sistema giudiziario, e chiedo alla giuria di considerarlo attentamente prima di emettere un verdetto. Giudice: Grazie, avvocato della difesa. Ora, la giuria si ritirerà per prendere una decisione. Vi prego di considerare attentamente tutte le prove presentate e di raggiungere una decisione basata sulla legge e sulle evidenze scientifiche. La seduta è sospesa fino al verdetto della giuria.   Aiutandovi con il giornale fornito ai membri della giuria, voi che verdetto dareste? Perché? Dopo aver fornito la vostra risposta, potete vedere la soluzione proposta da Giovanna Guidone e dai suoi alunni.  La professoressa Giovanna Guidone con i suoi studenti dopo la rappresentazione del laboratorio al convegno Pristem d’Autunno 2024.

Referenze iconografiche: Phanphen Kaewwannarat/Shutterstock