Nell’articolo Le dimostrazioni – Parte I abbiamo visto che le dimostrazioni non sono solo appannaggio della matematica, ma si possono trovare anche in ambiti diversi. Ora ci concentriamo su quelle matematiche: a prima vista, esse possono sembrare tutte diverse tra loro, senza elementi comuni che permettano di affrontarle e comprenderle. In realtà alcuni matematici hanno osservato che ci sono alcune strategie comuni che permettono di affrontarne la maggior parte. Vediamole analizzando una dimostrazione tratta dal capitolo A23 di Matematica in Movimento (Giovanna Guidone, Matematica in Movimento - Seconda edizione blu - Biennio LS - Volume 2, Sanoma, 2021).
Dopo la dimostrazione della probabilità dell’evento unione per eventi incompatibili, p(A ∪ B) = p(A) + p(B) se A ∩ B = ∅ , viene enunciato e dimostrato il teorema relativo alla probabilità dell’evento contrario.
In una dimostrazione sono sempre presenti delle ipotesi, talvolta date in modo implicito, e una tesi.
La tesi è l’obiettivo da raggiungere, ciò che desideriamo ricavare come conclusione del ragionamento. In tutti i teoremi è sempre dichiarata esplicitamente.
Le ipotesi – insieme agli assiomi della teoria, alle definizioni e alle altre proprietà e teoremi già noti sugli oggetti coinvolti nella dimostrazione – sono le risorse a nostra disposizione per costruire la dimostrazione. Nel teorema della probabilità dell’evento contrario le ipotesi sono dichiarate in modo esplicito: Ω è uno spazio degli eventi finito e A è un suo sottoinsieme. In altri teoremi può sembrare che non ci siano ipotesi: in questo caso, le risorse da utilizzare sono assiomi, definizioni e risultati già noti.
Uno dei teoremi che conosciamo a questo punto del percorso ci permette di calcolare la probabilità di due eventi incompatibili: quindi, cerchiamo di trovare un evento B incompatibile con Ω ∖ A per cui sia facile calcolare p(B ∪ (Ω ∖ A. Osserviamo ancora l’enunciato del teorema, in cui si parla dell’evento A: questo è il primo insieme di cui dobbiamo chiederci se faccia al caso nostro. Possiamo verificare che è effettivamente incompatibile con Ω ∖ A; inoltre, ha la proprietà comoda che:
A ∪ (Ω ∖ A) = Ω
È questo il motivo per cui nella prima frase ci stiamo concentrando sull’incompatibilità di A e Ā!
Il resto della dimostrazione è più lineare: dalle proprietà della probabilità sappiamo che p(A ∪ (Ω ∖ A = p(Ω) = 1: ci basta quindi prendere le probabilità degli insiemi coinvolti nell’uguaglianza precedente e utilizzare il teorema noto sulla probabilità dell’unione di eventi disgiunti.
Questo movimento continuo tra le ipotesi, le definizioni e proprietà e teoremi già noti è tipico della genesi di una dimostrazione. Solo in seguito, dopo aver trovato un argomento vincente, esso si può ripulire e presentare in modo più sintetico, nascondendo tutte le false partenze e sintetizzando i ragionamenti.
Nel caso di dimostrazioni più difficili, esistono alcune strategie che ci permettono di affrontare i passaggi più ostici. George Polya, un matematico ungherese del XX secolo, ne suggerisce qualcuna:
L’osservazione in matematica è paragonabile agli esperimenti nelle scienze. Nel caso del nostro teorema, per effettuare delle osservazioni avremmo potuto scegliere uno spazio di eventi, per esempio Ω = { ♡,♢,♠,♣,△}, e un evento, per esempio A = {♡,♣,△}. Con queste scelte, Ā = {♢,♠}; inoltre p(A) = 3/5, p(Ā) = 2/5.
Possiamo osservare che in questo caso l’uguaglianza:
p(Ā) = 2/5 = 1 - 3/5 =1 - p(A)
è verificata.
Dopo aver effettuato un numero sufficiente di osservazioni, si può passare dalle uguaglianze numeriche tra i valori p(Ā) e 1 - p(A) alla formula p(Ā) = 1 - p(A), in cui gli esempi di insiemi sono stati sostituiti con delle variabili. Questo è un esempio di generalizzazione.
Al contrario delle generalizzazioni, le specializzazioni cercano di passare da un problema complesso a uno più facile. Le prime osservazioni che abbiamo effettuato si possono concepire come delle specializzazioni particolari, in cui al posto delle variabili (gli insiemi Ω e A) abbiamo utilizzato degli insiemi descritti esplicitamente. Un altro tipo di specializzazione consiste nell’utilizzare la definizione classica di probabilità al posto del simbolo p: supponiamo che Ω abbia N elementi e A ne abbia m: in tal caso, Ā ha N - m elementi. Utilizzando la definizione, la probabilità di A è m/N, quella di Ā è (N - m)/N, quindi dobbiamo dimostrare che
(N - m)/N=1 - m/N
Siamo passati da una formula astratta a un’altra, sempre simbolica, ma di cui possiamo verificare la correttezza con gli strumenti dell’algebra.
Nel 1736 il matematico svizzero Leonhard Euler si chiese se fosse possibile effettuare una passeggiata in città rispettando queste regole:
Immedesimati in Euler: riesci a trovare un percorso che soddisfi i vincoli proposti? Se non ce la fai, sapresti dimostrare che trovarne uno è impossibile? Se decidi di affrontare la dimostrazione, scrivi le ipotesi, la tesi e aiutati con le strategie proposte da Polya.
Da un lato, conoscere le dimostrazioni e le loro strutture può aiutare notevolmente sia nello studio sia nella loro scoperta. Dall’altro, la maggior parte delle dimostrazioni richiede un elemento di creatività che non può essere ricondotto a un insieme di regole, ma che si può acquisire solo costruendo una familiarità con il soggetto indagato. Solo da questo intreccio di metodo e fantasia possono nascere le dimostrazioni più belle.
Per affrontare il problema di Euler, può essere utile schematizzare la situazione descritta: invece di ragionare direttamente sulla mappa di Königsberg, rappresentiamo le quattro regioni della città (le due sponde del fiume e le due isole) ciascuna con un punto; i ponti diventano degli archi che congiungono i punti corrispondenti. Otteniamo il grafico (o, per essere più precisi, il multigrafo) seguente.
Compiendo altri tentativi è possibile convincersi che è impossibile trovare una passeggiata con le caratteristiche richieste da Euler. Come si può dimostrare che questo è effettivamente impossibile? Seguiamo un altro suggerimento di Polya e iniziamo a ragionare su dei problemi più semplici. È possibile trovare un percorso con le proprietà indicate nei casi seguenti?
Che cosa accomuna il primo e l’ultimo caso, in cui è possibile farlo, e il secondo e il terzo, in cui è impossibile?
Per rispondere a questa domanda occorre un ragionamento creativo. Proviamo a immedesimarci in una persona che deve fisicamente compiere il cammino: ogni volta che arriviamo in una nuova regione utilizzando un ponte, possiamo proseguire se e solo se ce n’è un altro che non abbiamo ancora percorso. Questa considerazione suggerisce che l’esistenza di un cammino con le proprietà richieste da Eulero è equivalente a una proprietà che riguarda il numero di ponti che collegano ciascuna regione: tale numero deve essere pari!
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