Il laboratorio di matematica rappresenta un contenitore di attività esperienziali nelle quali si incontrano e interagiscono alunni e alunne, insegnanti, artefatti tecnologici e non, idee e argomentazioni. È uno “spazio progettato” d’insegnamento–apprendimento che promuove la costruzione di saperi matematici, che si legano, da una parte, all'uso di artefatti utilizzati nella risoluzione di un compito, dall'altra, alle interazioni sociali che si sviluppano durante la ricerca di tale risoluzione. All’interno di un laboratorio l’insegnante perde quindi il ruolo di “attore protagonista”, tipico di una didattica trasmissiva, per divenire “sceneggiatore” prima e “regista” poi del processo che vede protagonisti i bambini e le loro sfide di apprendimento.
Scriveva Ferdinando Arzarello in Matematica 2003, contenuto nel progetto curricolare Matematica per il cittadino: “L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti”.
Una didattica laboratoriale consente quindi di progettare situazioni che favoriscono un approccio attivo agli apprendimenti, una “costruzione” e non una “riproduzione” presentando situazioni reali che favoriscano la scoperta e l’argomentazione di ciò che viene sperimentato.
Il clima collaborativo e cooperativo che si instaura all’interno di questo ambiente di apprendimento promuove la riflessione che scaturisce dal confronto non competitivo intorno all’operato proprio e dei pari. La conoscenza matematica che ne deriva, oltre a essere compartecipata e condivisa, risulta collegata a contesti di senso che la rendono meno astratta e spendibile nella realtà vissuta dei bambini e delle bambine.
Il richiamo alla didattica laboratoriale è ben esplicitato anche nelle Indicazioni Nazionali per il curricolo del 2012:
“Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire l’operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento.”
Una progettazione a priori da parte dell’insegnante costituisce un momento fondamentale per una efficace programmazione didattica, grazie alla quale l’insegnante anticipa certe reazioni degli allievi e orienta i loro interventi didattici. Prima di proporre una situazione-problema o assegnare un compito, l’insegnante deve quindi predisporre gli strumenti a disposizione degli allievi per risolverlo, valutare quali difficoltà potranno essi affrontare e come organizzare il lavoro in classe per favorire un’evoluzione da procedure di risoluzione ancora primitive verso metodi più stabili ed efficaci. Nel tracciare l’analisi a priori si deve tener conto anche di eventuali errori, ostacoli alla disciplina, misconcetti e conflitti, favorendo l’individuazione delle attività che, nel rispetto di diversi stili cognitivi, faciliteranno l’apprendimento degli alunni e delle alunne.
Le pagine di ABC Steam e Laboriamo all’interno dei volumi di matematica di In via degli Ippocastani, il nuovo corso LANG per il primo ciclo della scuola primaria, nascono proprio per offrire spunti di progettazione di attività didattiche laboratoriali. Ogni proposta prende il via con la richiesta di risolvere piccoli problemi o documentare osservazioni tratte dalla esperienza laboratoriale. Viene suggerito un contesto all’interno del quale gli alunni e le alunne possono mettersi in gioco costruendo, manipolando e interagendo con un particolare artefatto e sono guidati nell’esplorazione e nella scoperta da domande stimolo che agevolano la riflessione sul compito. Ogni laboratorio pone l’alunno e l’alunna in una situazione non nota, sfidante e motivante, dando la possibilità di fare matematica in modo attivo.
Da qualche anno grazie al Progetto ARAL, progetto che promuove l’insegnamento dell’aritmetica in una prospettiva algebrica sin dai primi anni della scuola primaria, si è diffusa tra gli insegnanti dei diversi ordini scolastici la consuetudine di festeggiare l’11 novembre per promuovere il corretto uso del segno di uguaglianza. L’analisi dei risultati Invalsi e la ricerca hanno evidenziato come molti studenti considerano un’uguaglianza non come una relazione di equivalenza, ma come un “operatore” che indica lo svolgimento delle operazioni, rispondendo alla domanda “quanto fa? In alternativa ad un più corretto “Quanto è?”. Questa considerazione porta spesso a costruire catene di operazioni errate come 3+5=8+2=10. Allo stesso modo si è riscontrata la difficoltà di concepire il segno di uguaglianza come simbolo di equivalenza es 3+5=10-2. Il laboratorio “E come EQUAL DAY ha come obiettivo l’introduzione il concetto di uguaglianza nella classe prima che promuova una acquisizione priva di misconcetti legati all’apprendimento di questo simbolo di uguaglianza.
E come Equal day propone la costruzione di una semplice bilancia-gruccia con materiali facilmente reperibili. Il primo obiettivo del laboratorio è quello di determinare attraverso la sperimentazione che cosa condizioni l’equilibrio della bilancia-gruccia. I bambini e le bambine potranno cimentarsi introducendo lo stesso numero di fagioli in entrambi i contenitori, ma sollecitati dall’insegnante potranno sperimentare come sia possibile ottenere l’equilibrio anche per esempio con due matite in un contenitore e sette fagioli nell’altro, o come una gomma può “equivalere” a un temperino e quattro fagioli e via dicendo. È utile lasciare gli alunni e le alunne liberi di sperimentare con materiali diversi e assegnare a loro il compito di documentare le loro osservazioni attraverso il disegno.
L’insegnante in questa fase gioca un ruolo fondamentale in quanto ha il compito di “orchestrare” i diversi interventi degli alunni e alunne durante l’analisi delle esperienze fatte e la lettura condivisa dei disegni da loro prodotti, esplicitando in modo chiaro l’oggetto di discussione, orientando ed evitando dispersioni. In questa fase è possibile introdurre nuovi termini, come “uguale”, “equivalente”, “stesso valore” richiedendo che vengano interpretati, ponendo domande, guidando l’istituzionalizzazione, e facendo così evolvere l’esperienza in una nuova conoscenza.
La seconda parte dell’attività proposta in E come Equal day può essere utilizzata dall’insegnante come strumento di valutazione in situazioni non note della corretta comprensione degli obiettivi didattici posti con la realizzazione del laboratorio.
La storia della matematica offre una ricca raccolta di percorsi didattici utilizzabili nella didattica laboratoriale, situazioni sempre aperte e coinvolgenti e con una caratteristica in più data dall’importanza dagli aspetti storico-culturali ed epistemologici.
La progettazione didattica del laboratorio presente nel volume di matematica di classe terza prende lo spunto proprio da uno storico problema che la tradizione vuole legato alla città di Königsberg della Prussia orientale (oggi Kaliningrad, in Russia) e sapientemente risolto, o meglio non risolto dal matematico Eulero.
Il problema riguarda la possibilità di compiere un percorso attraversando tutti i sette ponti della città e passando per ognuno di essi una (e una sola) volta. Sarà Eulero a fornire la dimostrazione generale del problema nel trattato “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” del 1741; nella sua soluzione si individua oggi l’origine della moderna teoria dei grafi (o topologia).
Ma come può un problema così inusuale divenire uno strumento per mediare saperi matematici alla scuola primaria? “Ogni tanto è necessario dire delle cose difficili, ma bisognerebbe dirle nel modo più semplice di cui si è capaci.” scrive il matematico britannico Godfrey H.Hardy
“Un problema di ponti” di Laboriamo è stato pensato e realizzato in una classe terza primaria, ma proprio per la caratteristica del problema di non necessitare di particolari prerequisiti matematici potrebbe essere proposto ad alunni di età diverse.
Proprio per l’età precoce degli alunni e delle alunne è necessario trasporre il problema in un contesto vicino al loro vissuto, una ambientazione fantastica, e arricchirlo con una componente ludica per supportarne la motivazione. I personaggi e la narrazione possono essere ideati in classe con il contributo dei bambini e delle bambine.
In alternativa è possibile ricorrere a pubblicazioni che fanno riferimento proprio a questo storico problema. Su questo tema si segnalano di Francesco Artibani, Marco Mazzarello, Alberto Saracco, Paperino e i ponti di Quackenberg, Topolino3232 (2017), 105–134 e l’albo di Raffaella Petti, Il regno di Regiomonte ed. il Giardino di Archimede.
Ogni alunno potrà costruire la propria mappa con materiale facilmente reperibile. Ritagliando dei fogli colorati in modo irregolare e posizionandoli su un foglio A3 come in figura si costruisce l’arcipelago. Poi ritagliando delle strisce da un foglio di carta bianco, si costruiranno i ponti con cui giocare.
Ogni gruppo deve posizionare i ponti leggendo il grafo e muovendo il proprio personaggio sulla mappa per verificare se riesce ad eseguire il giro dei ponti in un viaggio solo, senza tornare indietro e senza ripassare 2 volte per lo stesso ponte.
Per ogni percorso è utile predisporre una tabella nella quale gli alunni e le alunne possono registrare le loro osservazioni.
Prima della discussione collettiva finale si suggerisce di lasciare i bambini e le bambine liberi di giocare rispettando semplici regole: posizionare in modo strategico un numero di ponti a piacere (4, 5, 6...) e sfidarsi a trovare un percorso vincente. Ogni percorso vincente deve essere documentato attraverso il disegno del relativo grafo.
Anche in questo caso la discussione matematica ha un ruolo cruciale per far evolvere gli aspetti esperiti in conoscenze: in questa fase è possibile introdurre nuovi termini, come “grafo” e “percorso euleriano” richiedendo formulando domande e guidando l’istituzionalizzazione.
In questo contesto è importante valorizzare i processi di apprendimento di ogni bambino e bambina e considerare l’errore parte integrante di tali processi.
La lettura e l’analisi condivisa dei protocolli prodotti durante il gioco-lavoro di gruppo guiderà alla scoperta della regola formalizzata dallo stesso Eulero. L’esperienza prima e la discussione e il confronto poi conducono gli alunni e le alunne a verificare che se il numero di ponti di ogni isola è pari è possibile eseguire il percorso e tornare all’isola di partenza. Ma è anche possibile vincere la sfida se ci sono 2 isole con un numero di ponti dispari, in questo caso sarà necessario partire da una delle isole dispari e si terminerà il percorso sull’altra isola dispari. Infine se più di 2 isole hanno un numero di ponti dispari non è possibile vincere la sfida.
Dalle regole di Eulero, che non diede una soluzione al problema in quanto irrisolvibile (infatti a Königsberg erano presenti tutti nodi-ponti dispari) sono nati quelli che vengono chiamati gli Euler Puzzles (cit. Federico Peiretti, Il matematico si diverte, TEA Libri). I puzzle sono esempi di percorsi in cui si chiede di tracciare un disegno con un unico tratto di penna e senza ripassare su una linea già tracciata. Una nuova e avvincente sfida per i nostri alunni e alunne: come riconoscere facilmente i percorsi possibili e quelli impossibili? Come individuare un punto da cui iniziare un disegno? In questo caso, il gioco diviene un ottimo strumento didattico di verifica degli apprendimenti.
Buon lavoro a tutti i bambini e le bambine.
Referenze iconografiche: ©Lordn/Shutterstock